散点 + 线性回归与 95% 置信带

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用散点展示两个连续变量的关系，叠加最小二乘回归直线及其 95% 置信带，直观呈现趋势和拟合的不确定性。

图与代码

code/R/main.R
suppressPackageStartupMessages(library(ggplot2))

d <- read.csv("data/mtcars.csv", encoding = "UTF-8")

p <- ggplot(d, aes(x = wt, y = mpg)) +
  geom_smooth(method = "lm", formula = y ~ x, level = 0.95, n = 80,
              colour = "#FC8D62", fill = "#FC8D62", alpha = 0.25, linewidth = 0.9) +
  geom_point(size = 2, shape = 21, fill = "#66C2A5", colour = "grey20", stroke = 0.3) +
  labs(x = "Weight (1000 lbs)", y = "Fuel economy (miles per gallon)") +
  theme_classic(base_size = 12)

ggsave("outputs/figure_r.png", p, width = 6, height = 4.5, dpi = 300, bg = "white")

code/py/main.py
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import scienceplots  # noqa: F401
import statsmodels.api as sm

plt.style.use(["science", "no-latex"])
plt.rcParams.update({"font.family": "sans-serif", "font.size": 11})  # 与 R 版（theme_classic 无衬线）统一

d = pd.read_csv("data/mtcars.csv")
fit = sm.OLS(d["mpg"], sm.add_constant(d["wt"])).fit()

# 与 R 版一致：在 wt 范围内取 80 个点，画拟合线与均值的 95% 置信带
grid = np.linspace(d["wt"].min(), d["wt"].max(), 80)
pred = fit.get_prediction(sm.add_constant(grid)).summary_frame(alpha=0.05)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.5))
ax.fill_between(grid, pred["mean_ci_lower"], pred["mean_ci_upper"], color="#FC8D62", alpha=0.25, linewidth=0)
ax.plot(grid, pred["mean"], color="#FC8D62", lw=1.8)
ax.scatter(d["wt"], d["mpg"], s=28, facecolor="#66C2A5", edgecolor="#333333", linewidth=0.5, zorder=3)
ax.set_xlabel("Weight (1000 lbs)")
ax.set_ylabel("Fuel economy (miles per gallon)")
fig.savefig("outputs/figure_py.png", dpi=300, facecolor="white")

什么时候用

  • 探索两个连续变量之间的大致线性关系
  • 展示回归直线并同时表达平均趋势估计的不确定性
  • 样本量不大时，把原始数据点与拟合结果放在一起

常见误用

  • 阴影带是平均趋势（条件均值）的 95% 置信带，不是单个观测的预测区间；个体观测的预测区间要宽得多
  • 置信带在 x 的均值附近最窄、两端变宽；超出观测范围的外推不可靠，图中拟合线只画到数据范围
  • 回归关系不等于因果；本例的相关可能受未纳入变量（如发动机排量、气缸数）影响
  • 图中直线以线性关系为前提，应结合残差检查线性、方差齐性等假设是否合理

数据与下载

数据：R 内置数据集 mtcars（datasets 包）（R 内置数据集（随 R 分发，GPL-2 | GPL-3））。32 款汽车的油耗（mpg，英里/加仑）与车重（wt，千磅）。本例拟合 mpg ~ wt 的普通最小二乘线性回归。

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